Formulário: Teoria da probabilidade

Teoria da probabilidade

\[ \Pr[A \cup B] = \Pr[A] + \Pr[B] - \Pr[A \cap B] \qquad \Pr[A \mid B] = \dfrac{\Pr[A \cap B]}{\Pr[B]} \] \[ \begin{aligned} \Pr[A \cup B] = \Pr[A] + \Pr[B], & \quad \text{para $A$ e $B$ eventos disjuntos.} \\ \Pr[A \cap B] = \Pr[A] \Pr[B], & \quad \text{para $A$ e $B$ eventos independentes.} \end{aligned} \] \[ \Pr[B] = \sum_{i} \Pr[B \mid A_i] \Pr[A_i], \quad \text{onde } \{ A_i \} \text{ são eventos que particionam o espaço amostral.} \]

Variáveis aleatórias

\[ \begin{alignedat}{2} \text{PMF} & \qquad & p_X(x) & \qquad \text{Função massa de probabilidade} \\ \text{PDF} & \qquad & f_X(x) & \qquad \text{Função densidade de probabilidade} \\ \text{CDF} & \qquad & F_X(x) & \qquad \text{Função distribuição cumulativa} \end{alignedat} \] \[ p_X(x) = \Pr[X = x] \qquad \Pr[a \leq X \leq b] = \int_{a^-}^{b^+} f_X(x) \dif x \qquad F_X(x) = \Pr[X \leq x] \] \[ F_X(x) = \sum_{u \leq x} p_X(u) \qquad p_X(x) = F_X(x^+) - F_X(x^-). \] \[ F_X(x) = \int_{-\infty}^{x^+} f_X(u) \dif u \qquad f_X(x) = \dfrac{\dif}{\dif x} F_X(x). \] \[ f_{X}(x) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y) \dif y \qquad \qquad f_{X}(x \mid Y=y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} \] \[ f_X(x) = \sum_{i} f_{X}(x \mid A_i) \Pr[A_i], \quad \text{onde $\{ A_i \}$ são eventos que particionam o espaço amostral.} \]

Distribuição normal

\[ X \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^2) \quad \iff \quad f_X(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \ee^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \] \[ \Phi(z) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^z \ee^{-\frac{u^2}{2}} \dif u \qquad \mathrm{Q}(z) = 1 - \Phi(z) \] \[ X \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^2) \quad \implies \quad \Pr[a \leq X \leq b] = \Phi \left( \frac{b - \mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{a - \mu}{\sigma} \right) \]

Valor esperado

\[ \EV[g(X)] = \sum_{x \in S_X} g(x) p_\mathrm{X}(x) \qquad \EV[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_\mathrm{X}(x) \dif x \] \[ \EV[g(X, Y)] = \sum_{x \in S_X} \sum_{y \in S_Y} g(x, y) p_\mathrm{X, Y}(x, y) \qquad \EV[g(X, Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x, y) f_\mathrm{X, Y}(x, y) \dif x \dif y \] \[ \mu_X = \EV[X] \qquad \sigma_X^2 = \var[X] = \EV[(X - \mu_X)^2] = \EV[X^2] - \EV[X]^2 \] \[ \cov[X, Y] = \EV[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)] = \EV[XY] - \EV[X] \EV[Y] \qquad \rho_{X,Y} = \frac{\cov[X, Y]}{\sqrt{\var[X] \var[Y]}} \] \[ \var[X + Y] = \var[X] + \var[Y] + 2\cov[X, Y] \\ \] \[ \EV[X] = \sum_{i} \EV[X \mid A_i] \Pr[A_i], \quad \text{onde $\{ A_i \}$ são eventos que particionam o espaço amostral.} \]

Vetores aleatórios

\[ \vec{\mu}_{\vec{X}} = \EV[ \vec{X} ] = \mat{\EV[X_1] \\ \EV[X_2] \\ \vdots \\ \EV[X_n]} \qquad C_{\vec{X}} = \EV[ (\vec{X} - \vec{\mu}_{\vec{Y}}) (\vec{X} - \vec{\mu}_{\vec{Y}})^\tr] = \mat{ \var[X_1] & \cov[X_1, X_2] & \cdots & \cov[X_1, X_n] \\ \cov[X_2, X_1] & \var[X_2] & \cdots & \cov[X_2, X_n] \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \cov[X_n, X_1] & \cov[X_n, X_2] & \cdots & \var[X_n] } \] \[ \vec{Y} = A \vec{X} + \vec{b} \quad \implies \quad \vec{\mu}_{\vec{Y}} = A \vec{\mu}_{\vec{X}} + \vec{b}, \quad C_{\vec{Y}} = A C_{\vec{X}} A^\tr \] \[ \vec{X} \sim \mathrm{N}(\vec{\mu}, C) \quad \iff \quad f_{\vec{X}}(\vec{x}) = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2} \sqrt{\det C}} \exp \left( -\frac{1}{2} (\vec{x} - \vec{\mu})^\tr C^{-1} (\vec{x} - \vec{\mu}) \right) \]

Processos estocásticos em tempo contínuo

Processos estocásticos estacionários no sentido amplo em tempo contínuo